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導數教學設計意圖篇一

一、課題引入

情境一：我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數y?f(x)，如何求它的導數呢？ 問題1：導數是用什么來定義的？（平均變化率的極限）

問題2：平均變化率的極限如何計算？（求增量，求比值，取極限）

問題3：以上求導數的過程用起來是否方便？我們有沒有必要歸結一下公式便于以后的運算？ 情境二：

1.利用定義求出函數①y?c的導數

2.若y?c表示速度關于時間的函數，則y??0可以如何解釋？如何描述物體的運動狀態？ 我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數y?f(x)，如何求它的導數呢？

由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但這種方法在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，從這一節課開始我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們先求幾個常用的函數的導數． 二．新課講授

1．函數y?f(x)?c的導數 知識點

根據導數定義，因為?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0y??0表示函數y?c圖像（圖1.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0．若y?c表示路程關于時間的函數，則y??0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態． 2．函數y?f(x)?x的導數

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 因為?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0y??1表示函數y?x圖像（圖1.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1．若y?x表示路程關于時間的函數，則y??1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動． 練習：在同一直角坐標系中，分別畫出函數y?2x,y?3x,y?4x的圖象，求出它們的導數。

（1）從圖象上看，它們的導數分別表示什么?（2）這三個函數，哪一個增加得最快，哪一個增加的最慢？（3）函數y?kx?k?0?增（減）的快慢與什么有關？

3．函數y?f(x)?x2的導數

?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因為 ?x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x

?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x

?x?0?x?x?0y??2x表示函數y?x2圖像（圖1.2-3）上點(x,y)處的切線的斜率都為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當x?0時，隨著x的增加，函數y?x2減少得越來越慢；當x?0時，隨著x的增加，函數y?x2增加得越來越快．若y?x表示路程關于時間的函數，則y??2x可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x的瞬時速度為2x． 4．函數y?f(x)?21的導數 x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因為 ???x?x?x?x?(x??x)1??2

x(x??x)?xx?x??x?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx1練習作出函數y?的圖象，根據圖象，描述它的變化情況，并求出其在點（1，1）處的切x所以y??lim線方程

5．函數y?f?x??x的導數

x??x?x

?x因為?yf(x??x)?f?x????x?x

=?x??x?x?xx??x?x1x??x?x ???x??x?x??

=所以y??lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2xnn?16.推廣：若f?x??x?n?q?，則f?(x)?nx

練習求下列函數的導數

（1）y?x3（2）y?1 x2（3）y?三．例題講解 3x（4）y?x2x

3例1．曲線y?x上哪一點的切線與直線y?3x?1平行？

解：設點p(x0,y0)為所求，則 它的切線斜率為k?3，∵f?(x)?3x，∴3x0?3，x0??1，∴p(1,1)或p(?1,?1)．

例2．證明：曲線xy?1上的任何一點p(x0,y0)(x0?0)的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積是一個常數． 解：由xy?1，得y?∴y??()???221，x1x1，x2

∴k?f?(x0)??1，2x0過點p(x0,y0)的切線方程為

y?y0??1(x?x0)，2x02，x0令x?0得y?令y?0得x?2x0，∴過p(x0,y0)的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積

s?12??2x0?2是一個常數． 2x0四．課時小結

c??0，xn

五、作業 ????nx?n?q? n?

1六、板書設計

七、教學反思

導數教學設計意圖篇二

一、《利用導數探究函數零點個數問題》教學設計

激趣入境：

問題：試說出函數f?x??x2?2x?3的零點

設計意圖：引出零點的概念，并由簡單問題使學生回憶函數零點、方程根、函數圖像交點之間的聯系，為基本概念、思想轉化做知識性的必要鋪墊。

本環節由學生集體作答，問題簡單，都能給出答案 函數零點的等價轉化：

1、函數y?f?x?的零點?方程f?x??0的根?函數y?f?x?的圖象與x軸 （即y?0）交點的橫坐標。

2、推廣：函數h?x??f?x??g?x?的零點

?方程_________________即_________________的根；

?函數_________________和_________________的圖象的________________ 例如：

函數h?x??x?lnx的零點

?方程_________________即_________________的根；

?函數_________________和_________________的圖象的________________

設計意圖：由問題的表面認識升華為理論層面，先給基本的轉化思想，然后再推廣到一般情況，為使學生靈活應用和轉化打好基礎。例題的給出使學生對剛剛理解的轉化有立竿見影的認識，并起到夯基釋義的作用。

此環節由教師提問，學生單獨作答，在推廣時學生遇到了一些問題，由其他學生補充回答，直到答案完整。

二、導引體驗、合作探究：

例

1、已知函數f?x??x?3x?1，求f?x?的極值并畫出函數的草圖 3設計意圖：由學生在課前完成，即能復習前幾節的知識重點，同時為引出本節課的課題做好知識上的準備

此題學生在課前完成，在此環節由某學生提前寫黑板上，由教師和學生共同核對、檢查，強調書寫格式和畫圖注意的問題

問題

1、根據圖象說出圖象與x軸有幾個交點？與y?1，y??3，y?2，y??4呢？ __________________________________________________________________

問題

2、若函數圖象與y?m有三個不同交點，則m的范圍是什么？有兩個交點和一個交點呢？

__________________________________________________________________ 問題

3、若方程f?x??m?0有三個不等實根，則m的范圍是什么？若是有三個零點呢？ g?x??f??x?m___________________________________________________________________ 設計意圖：此環節是本節課的重點，在例一的基礎上并結合幾何畫板，問題一讓學生對照圖像觀察定直線和定圖像的交點個數情況，數形結合，顯而易見，學生很容易接受，問題2要求學生逆向思維去考慮動直線和定圖象的交點個數問題，幾何畫板動態展示動直線的運動過程，從而直觀觀察出圖象與動直線的交點個數以及相關的要素即與極大值和極小值有關，問題迎刃而解，問題3回歸本節課的課題，使學生們清楚研究函數圖象的交點問題實際上等價于研究函數的零點問題和方程根的問題。

此環節由教師提問，在教師用幾何畫板投影圖象的過程中，由學生看圖完成作答，此處是本節課難點也是重點，但經過設計學生基本能接受并回答出。達標訓練

1、32已知函數f?x??x?3x?1，若直線y?m與y?f(x)的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍。

設計意圖：檢測學生對基本思想的落實情況，夯實基礎，并為后邊的變式及拓展延伸做好準備。

本環節由學生自己完成，并找學生上黑板板書，在學生完成的過程中與學生交流，了解學生的完成情況與存在的問題，適當提示和指導

32變式

1、已知函數f?x??x?3x?x?1，若直線y?x?m與曲線y?f?x?的圖象有三個不同交點，求實數m的取值范圍。

32變式

2、已知函數f?x??x?3x?x?1，若直線y?x?m與曲線y?f?x?的圖象在?1??,3?上有三個不同交點，求實數m的取值范圍。 ??2?設計意圖：層層遞進，逐步加深，變式1是為強化三種問題的轉化思想，引導學生從正確的思考方向出發，先由函數圖像交點轉化為方程根的問題，再轉化為函數圖像和平行于x軸的動直線的交點問題，在此歸納出解決此類問題的步驟即：轉化、求導找極值、畫圖、看圖取范圍，變式2在變式一的基礎上限定定義域，為學生指出問題的解決不僅和極值有關還和端點值有關

本環節采用提問式，因為是對例1的變形，所以轉化之后與例一一致，對變式2采取數形結合的方法依然借助幾何畫板來挖掘本題所注意的問題 達標訓練

2、已知函數f?x???

1312x?x?2x，若關于x的方程 322

?1?f?x??x3?2x2?x?m?0在區間?,2?上恰有兩不等實根，求實數m的范圍。

?2?設計意圖：舉一反三，夯基落實，強化對變式的理解和解決方法 由學生自己完成，教師給予適當引導

三、

已知函數f?x???x2?8x與函數g?x??6lnx?m的圖象有三個不同的交點，求m的范圍。

設計意圖：在函數形式上改變，引進對數函數，既是對本節課的

總結

為學生點出需要注意的問題，讓學生課后自己完成四、小結歸納、（1）數形結合的思想

（2）函數零點個數問題或方程根的個數問題最終轉化為平行與x軸的直線與函數圖象的交點個數問題。

設計意圖：總結本節課的知識重點，理清知識脈絡，使學生在整體對本節課有全面的認識。

五、作業

學案：

導數教學設計意圖篇三

《導數的概念》教學設計

1.教學目標

（1）知識與技能目標：掌握導數的概念，并能夠利用導數的定義計算導數.（2）過程與方法目標：通過引入導數的概念這一過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態度與價值觀目標：

通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數學的理性與嚴謹，激發學生對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度．

2.教學重、難點

重點：導數的定義和利用定義如何計算導數． 難點：對導數概念的理解．

3.教學方法

1.教法：引導式教學法

在提出問題的背景下，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數概念的形成．

2.教學手段：多媒體輔助教學

4.教學過程

（一）情境引入

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（newton）和德國數學家萊布尼茲（leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

17世紀數學家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀，古希臘數學家海倫（heron）就已經證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

cbcbaa

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運動的速度問題。對于直線運動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構成的角——牛頭角（圖3中ab弧與ac構成的角）和弓形角（圖4中ab與acb弧所構成的角）即有過很多爭議。17世紀數學家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,t]）的瞬時速度。

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,t]，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點m(x0,y0)，求：m點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線c及曲線c上的一點m，如圖，在m外c上另外取一點n，作割線mn，當n沿著c趨近點m時，如果割線mn繞點m旋轉而趨于極限位置mt，直線mt就稱為曲線c在點m處的切線。

問題解決：取在c上m附近一點n(x,y)，于是割線pq的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線mn的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點m處的切線的斜率。

導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線mt的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數

x?x0

f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f(x0)。

即 f(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式：

f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側導數的概念

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?(x0)。

?左導數

f?(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f(x0)存在?f?(x0)，f?(x0)都存在，且f?(x0)=f?(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導數的定義，并能通過導數的幾何意義來解決一般問題

例題2設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

附注：判斷一個函數在某點處是否可導，只需要考慮該點處的左右導數是否相等即可。

（四）應用提高 求曲線y?x在點（－1，－1）處的切線方程為(a)x?2a.y=2x＋1 b.y=2x－1 c.y=－2x－3 d.y=－2x－2

（五）小結

本節課主要學習導數的基本概念，在經歷探究導數概念的過程中，讓學生感受導數的形成，并對導數的幾何意義有較深刻的認識。

本節課中所用數學思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業布置

1．已知f(1)?2012，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數f(x)??2x?3在點（1，1）處切線的方程。2