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數學說課稿：導數概念1

導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲。《導數的概念》這一節內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的

教學

一、教材分析

1.1編者意圖《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解。從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發，向抽象和普遍發展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效。

1.2導數概念在教材的地位和作用“導數的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用。導數的出現推動了人類事業向前發展。

1.3教材的內容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：

表1、知識主體結構比較

通過比較發現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法。

1.4重、難點剖析

重點：導數的概念的形成過程。

難點：對導數概念的理解。

為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區間（，b）內可導→f（x）在開區間（，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統一的？”。事實上：

（1）f（x）在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數，區別于導函數。

（2）f（x）的導數是對開區間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數思想。

（3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區間（，b）內可導、最后定義f（x）在開區間的導函數。

（4）y=f（x）在x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比。

二、目的分析

2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數的極限已經熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態度。

2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：

知識目標：

①理解導數的概念。

②掌握用定義求導數的方法。

③領悟函數思想和無限逼近的極限思想。

能力目標：

①培養學生歸納、抽象和概括的能力。

②培養學生的數學符號表示和數學語言表達能力。

情感目標：通過導數概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態度。

三、

設計理念：遵循特殊到一般的認知規律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數的形成，發展和應用過程，幫助學生主動建構概念。

數學說課稿：導數概念2

一、教材分析

導數的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內容,是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發得到導數的概念，為以后更好地研究導數的幾何意義和導數的應用奠定基礎。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數。

問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度--→

根據上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點

二、教學目標

1、知識與技能：

通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法

3、情感、態度與價值觀：

通過運動的觀點體會導數的內涵，使學生掌握導數的概念不再困難，從而激發學生學習數學的興趣.

三、重點、難點

重點：導數概念的形成，導數內涵的理解

難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數的內涵通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點

四、教學設想(具體如下表)

教學環節教學內容師生互動設計思路創設情景、引入新課幻燈片

回顧上節課留下的思考題：

在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?

首先回顧上節課留下的思考題：

在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出：大家得到運動員在這段時間內的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產生這樣的情況呢?

引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。

使學生帶著問題走進課堂，激發學生求知欲初步探索、展示內涵

根據學生的認知水平,概念的形成分了兩個層次：

結合跳水問題，明確瞬時速度的定義

問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度?

提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化

理解導數的內涵是本節課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點

問題二：請大家繼續思考，當Δt取不同值時,嘗試計算的值?

Δt

Δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

學生對概念的認知需要借助大量的直觀數據，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，

幫助學生體會從平均速度出發，“以已知探求未知”的數學思想方法,培養學生的動手操作能力

問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢?

Δt

Δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便,數學中用簡潔的符號來表示,即

數形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數學的簡約美

問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢?

引導學生繼續思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示?學生意識到將代替2,可類比得到

與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度,更符合學生的認知規律,提高了他們的思維能力,體現了特殊到一般的思維方法

借助其它實例，抽象導數的概念

問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢?

類比之前學習的瞬時速度問題,引導學生得到瞬時膨脹率的表示

積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯系，有助于知識的重組和遷移,尋找不同實際背景下的數學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義

問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數用來表示，那么函數在處的瞬時變化率如何呢?

在前面兩個問題的鋪墊下,進一步提出，我們這里研究的函數在處的瞬時變化率即在處的導數,記作

(也可記為)

引導學生舍棄具體問題的實際意義,抽象得到導數定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數產生的時代背景，讓學生感受數學文化的熏陶，感受數學來源于生活，又服務于生活。

循序漸進、延伸

拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為

(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

步驟：

①啟發學生根據導數定義，再分別求出和

②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎?

③大家是否能用同樣方法來解決問題二?

④師生共同歸納得到，導數即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢

步步設問，引導學生深入探究導數內涵

發展學生的應用意識，是高中數學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體,加深學生對導數內涵的理解，體驗數學在

實際生活中的應用

變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系S(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度

(2)求物體在t時刻的瞬時速度

(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動?

學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想

目的是讓學生學會用數學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯系，更深刻地把握事物變化的規律歸納

總結

1、瞬時速度的概念

2、導數的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出

讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣

作業安排、板書設計(必做)

第1

(選做)：思考第11頁習題B組第1題作業是學生信息的反饋，能在作業中發現和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教

附后板書設計清楚整潔,便于突出知識目標

五、學法與教法

學法與教學用具

學法：

(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)

(2)自主學習：引導學生通過親身經歷，動口、動腦、動手參與數學活動。(如問題3的處理)

(3)探究學習：引導學生發揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)

教學用具：電腦、多媒體、計算器

教法：整堂課圍繞“一切為了學生發展”的教學原則，突出①動--師生互動、共同探索。②導--教師指導、循序漸進

(1)新課引入--提出問題,激發學生的求知欲

(2)理解導數的內涵--數形結合，動手計算,組織學生自主探索,獲得導數的定義

(3)例題處理--始終從問題出發，層層設疑，讓他們在探索中自得知識

(4)變式練習--深化對導數內涵的理解，鞏固新知

六、評價分析

這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數，展示了一個完整的數學探究過程。提出問題、計算觀察、發現規律、給出定義，讓學生經歷了知識再發現的過程，促進了個性化學習。

從舊教材上看，導數概念學習的起點是極限，即從數列的極限，到函數的極限，再到導數。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數本質的理解。

新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數。

通過列表計算、直觀地把握函數變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;

這樣定義導數的優點：

1.避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;

2.將更多精力放在導數本質的理解上;

3.學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義.

(附)板書設計

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