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等價無窮小的推理過程 等價無窮小如何理解篇一

例1 limx→0tanx-sinxx3

解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx

=limx→0x·12x2x3（∵ sinx～x,1-cosx～x22）

=12

此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質④做。

∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質④的條件，否則得出錯誤結論0。

例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

用性質④直接將等價無窮小代換進去，也可用羅比塔法則做。

例3 limx→0(1x2-cot2x)

解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 （∵ sinx～x）

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44

（∵ tanx～x）

=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23 （∵ tanx～x）

兩種解法的結果不同，哪一種正確呢？可以發現解法1錯了，根源在于錯用sinx-xcosx～x-xcosx （注意limx→0sinx-xcosx=-1）， 由性質③ sinx-xcosx并不等價于x-xcosx 。 從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個有力工具，但往往需要幾種方法結合起來運用，特別是恰當適時地運用等價無窮小的代換，能使運算簡便，很快得出結果。

2.2 在正項級數的審斂判別法中，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無窮小的一個應用。

比較審斂法的極限形式：設∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正項級數， ① 如果limn→∞unvn=l（0≤l<+∞） ，且級數∑∞n=1vn收斂，則級數∑∞n=1un收斂。

② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且級數∑∞n=1vn發散，則級數∑∞n=1un發散。當l=1時，∑un，∑vn就是等價無窮小。由比較審斂法的極限形式知，∑un與∑vn同斂散性，只要已知∑un，∑vn中某一個的斂散性，就可以找到另一個的斂散性。

例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的斂散性

解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收斂 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收斂

例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的斂散性

解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 發散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 發散

3 等價無窮小無可比擬的作用

以例3看，若直接用羅比塔法則會發現出現以下結果：

原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx

=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越變越復雜，難于求出最后的結果。而解法2適時運用性質①，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進行等價替換，從而很快地求出正確結果。再看一例：

例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出現循環，此時用羅比塔法則求不出結果。怎么辦？用等價無窮小代換。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。

由此可看到羅比塔法則并不是萬能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3]。只要充分地掌握好等價無窮小的4條性質就不難求出正確的結論。

等價無窮小的推理過程 等價無窮小如何理解篇二

無窮小的定義是以極限的形式來定義的，當x→x0時（或x→∞）時，limf(x)=0，則稱函數f(x)當x→x0時（或x→∞）時為無窮小。

當limβα=1，就說β與α是等價無窮小。

常見性質有：

設α，α′，β，β′，γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若α～α′，β～β′， 且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，則α～γ

性質①表明等價無窮小量的商的極限求法。性質②表明等價無窮小的傳遞性若能運用極限的運算法則，可繼續拓展出下列結論：

③ 若α～α′，β～β′， 且limβα=c（≠-1），則α+β～α′+β′

證明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

而學生則往往在性質(3)的應用上忽略了“limβα=c（≠-1）”這個條件，千篇一律認為“α～α′，β～β′，則有α+β～α′+β′

④ 若α～α′，β～β′， 且limaα′±bβ′cα′±dβ′存在，則當aα′±bβ′cα′±dβ′≠0且 limaα±bβcα±dβ存在，有limaα±bβcα±dβ=limaα′±bβ′cα′±dβ′

此性質的證明見文獻[2]，性質③、④在加減法運算的求極限中就使等價無窮小的代換有了可能性，從而大大地簡化了計算。但要注意條件“limβα=c（≠-1）”，“aα baihua ′±bβ′cα′±dβ′≠0”的使用。