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九年級初中數學教學案例篇一

1.本單元教學的主要內容：

二次根式的概念;二次根式的加減;二次根式的乘除;最簡二次根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的，它也是今后學習其他數學知識的基礎.

教學目標

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解 (a≥0)是一個非負數，( )2=a(a≥0)， =a(a≥0).

(3)掌握 ? = (a≥0，b≥0)， = ? ;

= (a≥0，b>0)， = (a≥0，b>0).

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規定，并運用規定進行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規定的逆向等式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的.

3.情感、態度與價值觀

通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重點

1.二次根式 (a≥0)的內涵. (a≥0)是一個非負數;( )2=a(a≥0); =a(a≥0)及其運用.

2.二次根式乘除法的規定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學難點

1.對 (a≥0)是一個非負數的理解;對等式( )2=a(a≥0)及 =a(a≥0)的理解及應用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教學關鍵

1.潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點.

2.培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能力，培養學生一絲不茍的科學精神.

單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分配如下：

21.1 二次根式 3課時

21.2 二次根式的乘法 3課時

21.3 二次根式的加減 3課時

教學活動、習題課、小結 2課時

21.1 二次根式

第一課時

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

理解二次根式的概念，并利用 (a≥0)的意義解答具體題目.

提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題.

教學重難點關鍵

1.重點：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念;

2.難點與關鍵：利用“ (a≥0)”解決具體問題.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們獨立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數y= ，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________.

問題2：如圖，在直角三角形abc中，ac=3，bc=1，∠c=90°，那么ab邊的長是__________.

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是s2，那么s=_________.

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3.因為點在第一象限，所以x= ，所以所求點的坐標( ， ).

問題2：由勾股定理得ab=

問題3：由方差的概念得s= .

二、探索新知

很明顯 、 、 ，都是一些正數的算術平方根.像這樣一些正數的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號.

(學生活動)議一議：

1.-1有算術平方根嗎?

2.0的算術平方根是多少?

3.當a<0， 有意義嗎?

老師點評:(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 (x>0)、 、 、- 、 、 (x≥0，y≥0).

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“ ”;第二，被開方數是正數或0.

解：二次根式有： 、 (x>0)、 、- 、 (x≥0，y≥0);不是二次根式的有： 、 、 、 .

例2.當x是多少時， 在實數范圍內有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意義.

解：由3x-1≥0，得：x≥

當x≥ 時， 在實數范圍內有意義.

三、鞏固練習

教材p練習1、2、3.

四、應用拓展

例3.當x是多少時， + 在實數范圍內有意義?

分析：要使 + 在實數范圍內有意義，必須同時滿足 中的≥0和 中的x+1≠0.

解：依題意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

當x≥- 且x≠-1時， + 在實數范圍內有意義.

例4(1)已知y= + +5，求 的值.(答案:2)

(2)若 + =0，求a2004+b2004的值.(答案: )

五、歸納小結(學生活動，老師點評)

本節課要掌握：

1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數.

六、布置作業

1.教材p8復習鞏固1、綜合應用5.

2.選用課時作業設計.

3.課后作業:《同步訓練》

第一課時作業設計

一、選擇題 1.下列式子中，是二次根式的是( )

a.- b. c. d.x

2.下列式子中，不是二次根式的是( )

a. b. c. d.

3.已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是( )

a.5 b. c. d.以上皆不對

二、填空題

1.形如________的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為________.

3.負數________平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為1m3的產品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少?

2.當x是多少時， +x2在實數范圍內有意義?

3.若 + 有意義，則 =_______.

4.使式子 有意義的未知數x有( )個.

a.0 b.1 c.2 d.無數

5.已知a、b為實數，且 +2 =b+4，求a、b的值.

第一課時作業設計答案:

一、1.a 2.d 3.b

二、1. (a≥0) 2. 3.沒有

三、1.設底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x= .

2.依題意得： ，

∴當x>- 且x≠0時， +x2在實數范圍內沒有意義.

3.

4.b

5.a=5，b=-4

九年級初中數學教學案例篇二

理解一元二次方程“降次”——轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重點

運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，領會降次——轉化的數學思想.

難點

通過根據平方根的意義解形如x2=n的方程，將知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題.

問題1：填空

(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.

解：根據完全平方公式可得：(1)164;(2)42;(3)(p2)2p2.

問題2：目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元?一元二次方程與一元一次方程有什么不同?二次如何轉化成一次?怎樣降次?以前學過哪些降次的方法?

二、探索新知

上面我們已經講了x2=9，根據平方根的意義，直接開平方得x=±3，如果x換元為2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢?

(學生分組討論)

老師點評：回答是肯定的，把2t+1變為上面的x，那么2t+1=±3

即2t+1=3，2t+1=-3

方程的兩根為t1=1，t2=-2

例1解方程：(1)x2+4x+4=1(2)x2+6x+9=2

分析：(1)x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x+2)2=1.

(2)由已知，得：(x+3)2=2

直接開平方，得：x+3=±2

即x+3=2，x+3=-2

所以，方程的兩根x1=-3+2，x2=-3-2

解：略.

例2市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率.

分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：設每年人均住房面積增長率為x，

則：10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應為20%.

(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么?

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.

三、鞏固練習

教材第6頁練習.

四、課堂小結

本節課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，達到降次轉化之目的.若p<0則方程無解.

五、作業布置

九年級初中數學教學案例篇三

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題.

通過復習可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟.

重點

講清直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.

難點

將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧.

一、復習引入

(學生活動)請同學們解下列方程：

(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7

老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得

x=±p或mx+n=±p(p≥0).

如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9嗎?

二、探索新知

列出下面問題的方程并回答：

(1)列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢?

(2)能否直接用上面前三個方程的解法呢?

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，求場地的長和寬各是多少?

(1)列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有此特征.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：

x2+6x-16=0移項→x2+6x=16

兩邊加(6/2)2使左邊配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程→x1=2，x2=-8

可以驗證：x1=2，x2=-8都是方程的根，但場地的寬不能是負值，所以場地的寬為2 m，長為8 m.

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.

例1用配方法解下列關于x的方程：

(1)x2-8x+1=0(2)x2-2x-12=0

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式;(2)同上.

解：略.

三、鞏固練習

教材第9頁練習1，2.(1)(2).

四、課堂小結

本節課應掌握：

左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程的方程.

五、作業布置

九年級初中數學教學案例篇四

教學內容

1. (a≥0)是一個非負數;

2.( )2=a(a≥0).

教學目標

理解 (a≥0)是一個非負數和( )2=a(a≥0)，并利用它們進行計算和化簡.

通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 (a≥0)是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導出( )2=a(a≥0);最后運用結論嚴謹解題.

教學重難點關鍵

1.重點： (a≥0)是一個非負數;( )2=a(a≥0)及其運用.

2.難點、關鍵：用分類思想的方法導出 (a≥0)是一個非負數;用探究的方法導出( )2=a(a≥0).

教學過程

一、復習引入

(學生活動)口答

1.什么叫二次根式?

2.當a≥0時， 叫什么?當a<0時， 有意義嗎?

老師點評(略).

二、探究新知

議一議：(學生分組討論，提問解答)

(a≥0)是一個什么數呢?

老師點評：根據學生討論和上面的練習，我們可以得出

(a≥0)是一個非負數.

做一做：根據算術平方根的意義填空：

( )2=_______;( )2=_______;( )2=______;( )2=_______;

( )2=______;( )2=_______;( )2=_______.

老師點評： 是4的算術平方根，根據算術平方根的意義， 是一個平方等于4的非負數，因此有( )2=4.

同理可得：( )2=2，( )2=9，( )2=3，( )2= ，( )2= ，( )2=0，所以

( )2=a(a≥0)

例1 計算

1.( )2 2.(3 )2 3.( )2 4.( )2

分析：我們可以直接利用( )2=a(a≥0)的結論解題.

解：( )2 = ，(3 )2 =32?( )2=32?5=45，

( )2= ，( )2= .

三、鞏固練習

計算下列各式的值：

( )2 ( )2 ( )2 ( )2 (4 )2

四、應用拓展

例2 計算

1.( )2(x≥0) 2.( )2 3.( )2

4.( )2

分析：(1)因為x≥0，所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0;

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2?2x?3+32=(2x-3)2≥0.

所以上面的4題都可以運用( )2=a(a≥0)的重要結論解題.

解：(1)因為x≥0，所以x+1>0

( )2=x+1

(2)∵a2≥0，∴( )2=a2

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1

(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2?2x?3+32=(2x-3)2

又∵(2x-3)2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴( )2=4x2-12x+9

例3在實數范圍內分解下列因式:

(1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略)

五、歸納小結

本節課應掌握：

1. (a≥0)是一個非負數;

2.( )2=a(a≥0);反之:a=( )2(a≥0).

六、布置作業

1.教材p8 復習鞏固2.(1)、(2) p9 7.

2.選用課時作業設計.

3.課后作業:《同步訓練》

九年級初中數學教學案例篇五

學習目標

1.了解圓周角的概念.

2.理解圓周角的定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.

3.理解圓周角定理的推論:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.

4.熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用.

設置情景,給出圓周角概念,探究這些圓周角與圓心角的關系,運用數學分類思想給予邏輯證明定理,得出推導,讓學生活動證明定理推論的正確性,最后運用定理及其推導解決一些實際問題

學習過程

一、 溫故知新:

(學生活動)同學們口答下面兩個問題.

1.什么叫圓心角?

2.圓心角、弦、弧之間有什么內在聯系呢?

二、 自主學習:

自學教材p90---p93,思考下列問題:

1、 什么叫圓周角?圓周角的兩個特征: 。

2、 在下面空里作一個圓,在同一弧上作一些圓心角及圓周角。通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題.

(1)一個弧上所對的圓周角的個數有多少個?

(2).同弧所對的圓周角的度數是否發生變化?

(3).同弧上的圓周角與圓心角有什么關系?

3、默寫圓周角定理及推論并證明。

4、能去掉"同圓或等圓"嗎?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性質成立嗎?

5、教材92頁思考?在同圓或等圓中,如果兩個圓周角相等,它們所對的弧一定相等嗎?為什么?

三、 典型例題:

例1、(教材93頁例2)如圖, ⊙o的直徑ab為10cm,弦ac為6cm,,∠acb的平分線交⊙o于d,求bc、ad、bd的長。

例2、如圖,ab是⊙o的直徑,bd是⊙o的弦,延長bd到c,使ac=ab,bd與cd的大小有什么關系?為什么?

四、 鞏固練習:

1、(教材p93練習1)

解:

2、(教材p93練習2)

3、(教材p93練習3)

證明:

4、(教材p95習題24.1第9題)

五、 總結反思:

達標檢測

1.如圖1,a、b、c三點在⊙o上,∠aoc=100°,則∠abc等于( ).

a.140° b.110° c.120° d.130°

(1) (2) (3)

2.如圖2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小關系是( )

a.∠4<∠1<∠2<∠3 b.∠4<∠1=∠3<∠2

c.∠4<∠1<∠3∠2 d.∠4<∠1<∠3=∠2

3.如圖3,(中考題)ab是⊙o的直徑,bc,cd,da是⊙o的弦,且bc=cd=da,則∠bcd等于( )

a.100° b.110° c.120° d.130°

4.半徑為2a的⊙o中,弦ab的長為2 a,則弦ab所對的圓周角的度數是________.

5.如圖4,a、b是⊙o的直徑,c、d、e都是圓上的點,則∠1+∠2=_______.

(4) (5)

6.(中考題)如圖5, 于 ,若 ,則

7.如圖,弦ab把圓周分成1:2的兩部分,已知⊙o半徑為1,求弦長ab.

拓展創新

1.如圖,已知ab=ac,∠apc=60°

(1)求證:△abc是等邊三角形.

(2)若bc=4cm,求⊙o的面積.

3、教材p95習題24.1第12、13題。

布置作業教材p95習題24.1第10、11題。