作為一名教職工，就不得不需要編寫教案，編寫教案有利于我們科學、合理地支配課堂時間。教案書寫有哪些要求呢？我們怎樣才能寫好一篇教案呢？下面是我給大家整理的教案范文，歡迎大家閱讀分享借鑒，希望對大家能夠有所幫助。

冷與熱教案 冷和熱大班教案篇一

導入：教師：“請各位家長帶著寶寶找到小蘋果，然后坐下來，我們要上課啦！大家好，歡迎大家來到新愛嬰感統課堂，我是今天的主課老師萬萬老師，伸出你們的雙手跟老師揮揮手，耶~~~~~” 熱身操：《健康操》 導入熱身操：教師：“今天老師見到這么多健康又可愛的寶寶，老師非常的開心，下面請家長帶著寶寶站起來，我們一起來活動一下小身體，希望我們寶寶能夠健康快樂的成長，下面請寶寶跟著來說一起來做健康操?！? 分解：“左邊繞三圈，右邊繞三圈，脖子繞一繞，屁股扭一扭，走起來，抖抖手，再動動小膝蓋（因時間原因，這邊“收”）。。。好，寶寶學的很好，現在我們有請音樂寶寶和我們一起跳起來，有請音樂?！睂殞毟魳诽驎r間關系，一遍即可。問好： 教師：“寶寶們，剛剛的熱身操跳的真棒，老師的大拇哥表揚你們一下了，寶寶們真棒！好，下面老師要和寶寶們問好啦，小手起，‘寶，寶，早，上，好’，老師跟寶寶問好了，寶寶應該怎么樣？寶寶說：‘老,師,早,上,好’,啊，寶寶的祝福老師都收到啦，老師謝謝我們的寶寶?！?圖 形閃卡：認識雨·霧·霜

寶寶，全都靠近老師一點，今天小熊打電話給老師，他想邀請大家去他家玩，但是小熊說，他家的天氣不太好，早上有霧和霜，白天還下雨，接下來，老師就帶寶寶認識雨霧霜，寶寶仔細看好了，當當當，我們看看，我們認識的第一個天氣是什么（拿出卡片，閃卡，左邊開始閃，中間一下，右邊一下，然后從右邊開始，如上）。寶寶，你們大聲的數三個數，老師就把它請出來，1,2,3，啊，第一個天氣是雨啊，寶寶，下雨天我們要怎么樣”？寶寶肯定會說是雨傘，教師：“啊，對了，下雨天我們要打雨傘，寶寶可要記住了哦。寶寶，雨（三遍），寶寶，跟老師念，雨（左），雨（中間），雨（右）。好，寶寶，接下來我們看看第二個天氣是什么，現在我們請上我們的家長一起數三個數，1,2,3，（出示卡片）啊，寶寶，認識么，早上會出來的，它一出來我們就會看不清，叫什么？寶寶回答：“霧”，對了，是霧，寶寶，霧（如上讀三遍）好了，剩下我們最后一個天氣啦，寶寶和老師一起看看長什么樣子，我們一起數三個數請出它，1，2，3，啊，寶寶看，白色的，這就是霜，寶寶，霜（三遍，如上）”。然后再拿起來，從后往前翻，霜雨霧，慢慢的加快速度，讓寶寶多讀幾遍，接下來把卡片依次擺放在地上，說出名字，讓寶寶用手指指出來，再給予相應的表揚。

精細動作：培養寶寶對音樂的感受力，訓練寶寶走路的能力

寶寶，我們一起認識雨霧霜這三種天氣，接下來我們要和它們說再見了。（拿一籃按摩球來）寶寶看，老師這里有好多紅色的按摩球，今天啊，我們就是要和這些按摩球玩游戲，等下老師會把球交給我們的媽媽，媽媽可以拿著球適當的調整與寶寶之間的距離，但是千萬要注意安全，距離可以適當的遠些，讓寶寶來抓球，這樣可以鍛煉寶寶的走路能力，然后我們的媽媽還有一個任務，那就是和老師一起唱歌，等下老師唱的時候可以跟著一起學，在游戲當中添加歌曲，可以培養寶寶對音樂的感受力。好，我們的游戲要開始啦，請媽媽帶著寶寶來老師這里拿按摩球，（寶寶來拿球的時候，老師開始唱歌：‘寶寶快來，寶寶快來，來來來，來來來，快來拿球球啊，快來拿球球啊，來來來，來來來?！樽嗍恰秲芍焕匣ⅰ罚@時候可以請家長一起參與唱，寶寶也可以一起，教師在游戲過程中要去做示范和協助家長與寶寶完成這個游戲）。

媽媽和我和器械運動：讓寶寶學習按照規則進行活動，并愉快的玩游戲 教師：“寶寶們都好棒，抓球都抓的很好，走路也走的特別棒。剛剛啊，小熊又給老師打電話了，它叫老師快點帶上寶寶去陪它，它已經等不及啦，所以啊，老師現在要帶寶寶出發啦，在去小熊家的路上有一個恐龍游樂園，我們今天的目的地就是那里啦，好了，寶寶，今天當駕駛員，寶寶和家長做乘客，老師的汽車要出發啦，請寶寶準備好。（用

開車的動作小跑到寶寶面前，接下來的依次都是）滴滴，汽車來啦，請問這位寶寶叫什么名字？我叫某某某，哦，某某寶寶的聲音可真響亮，請上車；汽車又開動啦，滴滴，這位媽媽，請問您是哪位寶寶的媽媽？”媽媽：“我是某某某的媽媽”，哦，某某的媽媽您的聲音可真響亮，請上車，（接下來都是這樣詢問寶寶及家長）嘀嘀嘀，啊，大家坐好了，大霧來啦，請大家扶好扶手；嘀嘀嘀，啊，前面下大雨啦，請大家扶好扶手；滴滴滴，恐龍游樂園到啦，寶寶看，好多恐龍啊，寶寶們都看到了什么恐龍?。堪?，快看，有一只恐龍在天上飛來飛去的，寶寶知道那是什么恐龍么，它啊，是翼龍，像鳥一樣，可以飛的。哇，大家坐好了，前面來了一只霸王龍，老師要越過它了，哇，真的好險啊，啊，老師看見小熊啦，我們把它接上車吧，小熊請上車，（小熊上車后再出發）啊，地震來啦，大家坐好啦，滴滴，啊，原來是震龍來啦，怪不得跟發地震一樣。不行，這里太危險啦，我們趕快回家,滴滴，回家咯，哇，車窗上面都有霜啦，好冷啊，老師要開快點啦，大家抓緊扶手啦，嘀嘀嘀，哇，終于到家啦，請大家排好隊下車，哇，好累啊，我們找個凳子坐坐吧。（教師拿來一條獨腳凳）寶寶看，這個凳子和其它的凳子不一樣，它啊，只有一條腿，它還有個很有趣的名字，叫作“獨腳凳”獨腳凳是怎么坐的呢，寶寶看，我們兩手扶住凳子，然后坐上去（教師示范），家長可以協助寶寶坐上去，一定要注意

安全哦，寶寶在坐凳子的時候也可以和自己的小伙伴玩游戲哦，寶寶可以邀請一位小伙伴和自己面對面坐著，然后玩拍手游戲，看看誰在拍手的時候還能坐的最穩，誰的平衡力就最好，好了，大家的都累了，寶寶都過來拿凳子坐吧，（放收玩具的音樂）好，現在，請我們的寶寶把獨腳凳都送回家，我們的游戲時間結束啦（收凳子）。音樂欣賞： 教師：“剛剛老師和寶寶們走了那么長的路，還玩兒了游戲，接下來，老師要和我們的寶寶還有媽媽一起來聽一首好聽的音樂，有請音樂！”

總結

冷與熱教案 冷和熱大班教案篇二

§3.2開系的熱力學基本方程

本節要求：理解：多元多相系。掌握：開系的熱力學基本方程、吉布斯函數、化學勢 1多元多相系（理解：元與相的概念。）

2開系的熱力學基本方程、吉布斯函數、化學勢（理解：開系于閉系的區別。掌握：開系的熱力學基本方程開系的吉布斯函數的推導及結論、化學勢的概念及表達式。重點：考核概率30%）

一、幾個概念

1、元：把熱力學系統的每一種化學組分稱為一個組元，簡稱為元。

2、單元系：僅由一種化學組分組成的系統。例如純水。

3、多元系：由若干種化學組分組成的系統。例如空氣。

4、相：系統中物理和化學性質完全相同且成份相同的均勻部分稱為一個相。

5、單相系（均勻系）：僅有單一的相構成的系統稱為單相系

6、復相系（多相系）：有若干個相共存的系統稱為復相系

又根據組成系統的組元數目，把復相系分為單元復相系和多元復相系。例如，水和水蒸氣共存是單元二相系；鹽是水溶液與水蒸氣共存是二元二相系；

7、相變：在復相系中發生的相轉變過程。

8、開系：在相變過程中，物質可以由一相變到另一相，因此一個相的質量或 mol數是可以變的，這時系統為開系。

二、開系的熱力學方程

1、g的全微分dg

從上一章我們知道，一個封閉的均勻系，在簡單情況下，只需兩個獨立參量即可確定系統的狀態，比如用t，p即可確定系統的吉布斯函數。但對均勻開放系統來說，為了確定其狀態，還必須把組成系統的物質摩爾數n或者質量m考慮在內，通常選摩爾數，則此時吉布斯函數是t，p，n為獨立參量，則吉布斯函數的全微分可擴展表示為

dg??sdt?vdp??dn

⑴

?g)t,p ⑵ ?n稱為化學勢，它表示在溫度、壓強不變的情況下，增加一摩爾的物質時，系統吉g是以 v，p，n為獨立變量的特征函數

其中 ??(布斯函數的增量。

μdn表示由于摩爾數改變了dn所引起的吉布斯函數的改變。由于吉布斯函數是廣延量，我們定義一個摩爾吉布斯函數（即1摩爾物質的吉布斯函數），則系統的吉布斯函數g(t,p,n)=ng(t,p)

⑶

因此將⑶代入⑵式得 ??(?g)t,p?gm ⑷ ?n這就是說，化學勢μ等于摩爾吉布斯函數g，這個結果適用于單元相系。

2、du

由u?g?ts?pv得內能的全微分

du?dg?tds?sdt?pdv?vdp ??sdt?vdp??dn?tds?sdt?pdv?vdp

⑸ ?tds?pdv??dnu是以s，v，n為獨立變量的特征函數

⑸式就是開系的熱力學基本方程。它是du?tds?pdv的推廣，可知，開系的內

??u?能u是以s,v,n為獨立變量的特性函數。μ也可以表示為????

⑹

??n?s,v即化學勢μ也等于在s,v不變的條件下，增加1mol物質時系統內能的改變。

3、dh

由焓的定義h?u?pv得焓的全微分為

dh?du?pdv?vdp?tds?vdp??dn

⑺

h是以s，p，n為獨立變量的特性函數。

??h?因此化學勢也可表示為 ????

⑻

?n??s,p

4、df

因自由能定義f=u-ts。可得自由能的全微分

df?dv?tds?sdt??sdt?pdv??dn ⑼ f是以t，v，n為獨立變量的特性函數

??f?因此 ????

⑽

?n??t,v（5）、（7）、（9）稱為開系的熱力學函數

如果定義一個熱力學函數 巨熱力勢 j?f??n?f?g??pv

⑾ 它的全微分為

dj?df??dn?nd???sdt?pdv?nd?

⑿ j是以t，v，μ為獨立變量的特性函數。如果已知巨熱力勢j(t，v，μ)，其它熱力學函數可用下面的偏導數求得：

s??(?j?j?j)v,?，p??()t,?，n??()t,v ⒀

?t?v??由以上討論可見，單元開系的熱力學特性函數與閉系相比，僅增加了一個變數n,并由此引進了化學勢的概念。

§3.3單元系的復相平衡條件

本節要求：掌握：平衡條件。了解：過程進行的方向。1平衡條件（理解：孤立條件。掌握：平衡條件的得出及結論。）2過程進行的方向（理解：由平衡條件判定過程進行的方向）

一、平衡條件

1、推導：為簡單起見，考慮一個孤立的單元兩相系，我們用上角標α和β表示兩個相，用u?，v?，n?和u?，v?，n?分別表示α和β相的內能，體積和摩爾數。因為是孤立系，所以總的內能，體積和摩爾數是恒定的，有

u??u??常量 v??v??常量n??n??常量 ⑴

若系統發生一個虛變動，則α相和β相的內能，體積和摩爾數分別改變：?u?，?v?，?n?和?u?，?v?，?n?。孤立系統的條件式（1）要求：?u?+?u?=0 ?v?+?v?=0，?n?+ ?n?=0 ⑵

由du?tds?pdv??dn知,兩相的熵變為

?s???u??p??v?????n?t?，?s???u??p??v?????n?t?

⑶

根據熵的廣延性知，整個系統的熵變

?s??s??s?????u??u???t??t??????p??p????n??????n?????t??v?t??v?????t??t????????????11p????p???u(???)??v(???)??n(???)?0⑷ tttttt

?根據熵判據知，當整個系統達到平衡時，總熵有極大值?s?0 因為⑷式中?u?、?v?、?n?是獨立變量, ?s?0要求 11p?p????????0，????0，????0 ?tttttt即：t??t?

熱平衡條件

p??p?

力學平衡條件

⑸

????? 相變平衡條件

整個系統達到平衡狀態時，兩相的溫度、壓強和化學勢必須分別相等。同理，單元三相系平衡條件為： 熱平衡條件t??t??t? 力學平衡條件p??p??p?

相變（化學）平衡條件????????

2、討論

如果平衡條件未被滿足，復相系統將發生變化，變化將朝著熵增加的方向進行。1）如果熱平衡條件未能滿足，變化將朝著?u?(11?)?0

??tt的方向進行。例如當t??t?時，變化朝著?u??0的方向進行，即能量將從高溫的α相傳遞到低溫的β相去。

2）在熱平衡滿足t??t?的情況下，若力學平衡未能滿足，變化將朝著p?p??v(???)?0的方向進行。例，當p??p?時，變化將朝著?v??0的方向進行，tt?即壓強大的相α膨脹，壓強小的相β收縮。

3）在熱平衡條件已滿足t??t?，相變平衡條件未被滿足時，變化將朝著??n(???t????t?)?0的方向進行。例如當?????時，變化將朝著?n??0的方向進行，即物質將由化學勢高的β相相變到化學勢低的α相去，這是μ被稱為化學勢的原因。

??p?

二、單元復相系的穩定性條件仍可表示為cv?0,???0

??v?t§3.4單元復相系的平衡性質

本節要求：理解：實際相圖；掌握：熱力學理論的說明。掌握：平衡曲線的確定，克拉柏龍方程（重點：考核概率30%）

1實際相圖（理解：實際相圖的三個區域、三條交界線及三相點）2熱力學理論的說明（掌握：解釋單元系相圖）

3平衡曲線的確定，克拉柏龍方程（掌握：相變潛熱的概念及克拉柏龍方程的應用）（重點：考核概率30%）

一、p—t圖：

1、p—t圖：實驗指出：系統的相變與其溫度和壓強有關，在不同的溫度和壓強下系統可以有不同的相，氣相、液相或固相。有些物質的固相還可以具有不同的晶格結構，不同的晶格結構也是不同的相。如水（h2o）構成的系統有三態：水蒸氣（氣）、水（液）、冰（固）。在不同的條件下，其相有：氣態有一相；液態有一相；固態有六種不同的穩定態，它們分屬于六相。在直角坐標中，單元系相同可以用p—t圖表示。

由單元系相平衡條件?????，知

?? ?（t,p)??（t,p)

⑴由式（1）決定的曲線 p=p(t)⑵

稱為相平衡曲線。畫出p—t關系圖即為相圖。如圖為單元系相圖。

三條曲線將圖分為三個區域，它們分別表示固相、液相和氣相單相存在的溫度和壓強范圍?；瘜W勢用??，??，??表示，在各自的區域內，溫度和壓強可以單獨變化。如圖中分開氣、液兩相的曲線ac，為汽化線，為氣液兩相的平衡線，在氣化線上氣液兩相可以平衡共存。氣化線上有一點c，溫度等于c點時，液相不存在，因而汽化線也不存在，c點稱為臨界點，相應的溫度tc和壓強pc稱為臨界溫度和臨界壓強。例如，水的臨界溫度是647.05k，臨界壓強是22.09?106pa.分開液相和固相區域的曲線ab稱為熔解線（或凝固線）。

???t,p?????t,p?

⑶

分開氣相和固相區域的曲線稱為升華線。

???t,p?????t,p?

⑷

由于固相在結構上與氣液相差別很大，所以溶解曲線和升華曲線不存在端點，它們只能與其他相平衡曲線相交而中斷。

氣化線、熔解線和升華線交于一點a，此點三相共存稱為三相點，是三條相平衡曲線的交點。在三相點，物質的氣、液、固相共存。對于某一物質三相點的溫度和壓強是確定的。例如，水的三相點溫度為273.16k，壓強為610.88pa.舉例：以液—氣兩相的轉變為例說明由一相到另一相的轉變過程。

如圖所示：系統開始處在由點1所代表的氣相，如果維持溫度不變，緩慢地增加外界的壓強，則為了維持平衡態，系統的壓強將相應地增大。這樣系統的狀態將沿直線1—2變化，直到與汽化線相交于2點，這時開始有液體凝結，并放出熱量（相變潛熱）。在點2，氣、液兩相平衡共存。如果系統放出的熱量不斷被外界吸收，物質將不斷地由氣相轉變為液相，而保持其溫度和壓強不變，直到系統全部轉變為液相后，如果仍保持溫度不變而增加外界的壓強，系統的壓強將相應地增大，其狀態將沿著直線2—3變化。

2、p—t圖的熱力學理論解釋：

由吉布斯函數判據我們知道，在一定溫度和壓強下，系統的平衡狀態是吉布斯函數最小的狀態。各相的化學勢是溫度和壓強確定的函數??t,p?，如果在某一溫度和壓強范圍內，α相的化學勢???t,p?較其它相的化學勢低，系統將以α相單獨存在。這個溫度和壓強范圍就是α相的單相區域。在這個區域內溫度和壓強是獨立的狀態參量。

在氣化線ac上，氣液兩相平衡共存。根據熱平衡條件，力學平衡條件和相變平衡條件，可知t??t?，p??p?，???t,p?????t,p?

⑸

在三相點，三個相的溫度、壓強和化學勢都相等，即

???t,p?????t,p?????t,p?

t??t??t??t

⑹

p??p??p??p

三相點的溫度和壓強由⑹式決確定。（5）式給出兩相平衡共存時壓強和溫度的關系，是兩相平衡曲線的方程式。在平衡曲線上，溫度和壓強兩個參量中只有一個可以獨立改變p=p(t)。由于在平衡曲線上兩相的化學勢相等，兩相的任意比例共存，整個系統的吉布斯函數都是相等的。即?g?0，這就是中性平衡。當系統緩慢地從外界吸收或放出熱量時，物質將由一相轉變到另一相而始終保持在平衡態，稱為平衡相變。

二、克拉珀龍（clapeyron）方程

1、clapeyron方程

式子（5）為兩相平衡曲線，由于對物質化學勢缺乏足夠的知識，我們并不知道每一相的化學勢，所以相圖上的曲線多是由實驗直接測定的。但是由熱力學理論可以求出相平衡曲線的斜率的表達式稱為clapeyron方程。

如圖，在p—t圖上畫出兩相平衡曲線。在相平衡曲線上取鄰近的兩點a(t，p)和b(t+dt，p+dp)在相平衡曲線上兩相的化學勢相等，即 ???t,p?????t,p?

???t?dt,p?dp?????t?dt,p?dp?

⑺ 兩式相減得: d???d?? ⑻

這個結果表明，當沿著平衡曲線由a(t，p)變到b(t+dt，p+dp)時，兩相化學勢的變化必然相等?；瘜W勢的全微分為

d???smdt?vmdp(9)其中sm和vm分別表示摩爾熵和摩爾體積。

?所以有d????s?dt?vdp mm?? d????smdt?vmdp

???則由（8）式得?s?dt?vdp??sdt?vdp

mmmm???smdpsm整理變形得

⑽ ???dtvm?vm定義相變潛熱：以l表示1摩爾物質由α相變到β相時吸收的熱量，稱為，摩爾相變潛熱。因為相變時物質的溫度不變，由熵的定義得

l?t?s?t(s??s?)

⑾ 代入（10）式得

dpl

⑿ ???dtt(vm?vm)此式稱為（clapeyron）方程，它給出兩相平衡的斜率。分析clapeyron方程:當物質發生熔解、蒸發或升華時，混亂程度增加，因而熵也增加，相變潛熱點是正的。由固相或液相轉變到氣相體積也增加，因此氣化線和升華線的斜率dp∕dt是恒正的。由固相轉到液相時，體積也發生膨脹，這時熔解線的斜率也是正的。但有些物質，如冰，在熔解時體積縮小，熔解線的斜率是負的。

2、蒸汽壓方程

應用克拉珀龍方程，可以得出蒸汽壓方程的近似表達式。與凝聚相（液相或固相）達到平衡的蒸汽稱為飽和蒸汽。由于兩相平衡時壓強與溫度間存在一定的關系，飽和蒸汽的壓強是溫度的函數。描述飽和蒸汽的方程稱為蒸汽方程。

若α相為凝聚相，β相為氣相，凝聚相的摩爾體積（每摩爾凝聚物的體積）遠小于氣相的摩爾體積，我們可以略去克拉珀龍方程（10）中的v?，并把氣相看作理想氣體，滿足pv??rt，則克拉珀龍方程可簡化為

dplll ???dttv??v?tv?trtp??分離變量: 1dpl? ⒀ pdtrt2如果更進一步近似地認為相變潛熱與溫度無關,積分上式，得

lnp??l?c ⒁ rt即蒸汽壓方程的近似表達式?？梢詫⑹舰覍懗? p?p0el?11???r??tt0???? ⒂

由式（15）可知，飽和蒸汽壓隨溫度的增加而迅速的增加。由蒸汽壓方程，可以確定出在一定溫度下的飽和蒸汽壓；反過來測定飽和蒸汽壓，也可確定出該狀態的溫度。根據這個原理，可以制造蒸汽壓溫度計。蒸汽壓溫度計主要用與低溫范圍的測量。

冷與熱教案 冷和熱大班教案篇三

第三節 麥克斯韋速度分布律（內容）

1．麥克斯韋速度分布的推導：用經典分布方法 2．麥克斯韋速率分布 3．三個特征速率

第四節 能量均分定理（內容）1．能量均分定理的表述 2．*能量均分定理的證明

3．能量均分定理的應用：單原子理想氣體、雙原子分子理想氣體、理想固體、平衡輻射的內能和熱容量

7.3麥克斯韋速度分布律

本節要求：掌握：n個粒子理想氣體的速度分布函數。掌握：速度分布函數應用。1 n個粒子理想氣體的速度分布函數（掌握：推導速度分布函數。）2速度分布函數應用（掌握：三個速率的得出。）3實驗驗證：熱電子發射實驗、分子射線實驗（了解）

根據玻耳茲曼分布研究氣體分子質心的平動，導出氣體分子的速度分布律。在這問題上，由量子統計理論和由經典統計理論得到的結果相同。以下采用經典統計理論討論。

設氣體含有n個分子，體積為v。分子質心平動動能

??1222(px?py?pz)2m在體積v內，在dpxdpydpz的動量范圍內，分子質心平動的狀態數為

??v?3dpxdpydpz 3h0h0在體積v內，在dpxdpydpz的動量范圍內分子數為

al???l?????le 3h0對經典粒子，物理量是連續的，可以去掉下標，于是

a?參數由總分子數n決定，???????v?????dpxdpydpz

（1）e?3e3h0h0?2mv3h0????e???22(px?p2y?pz)dpxdpydpz?n

v?????2mpx23e(edp)?n x3???h0利用i(0)?????0e??x22?px??1?2m?323dx?，(?e2mdpx)?()，??2???得e??h02n?()32，v2?mkt代回（1），得質心動量在dpxdpydpz范圍內的分子數為

22?(px?p2y?pz)1322kmta?n()edpxdpydpz

2?mkt1如果用速度作變量，作代換px?mvx，py?mvy，pz?mvz，可得在dvxdvydvz范圍內的分子數為

2y?vz)m32?2kt(vx2?v2a?n()edvxdvydvz

2?ktm或

2y?vz)anm32?2kt(vx2?v2?()edvxdvydvz vv2?ktm則在單位體積內，速度在dvxdvydvz范圍內的分子數，稱為麥氏速度分布律

2y?vz)m32?2kt(vx2?v2f(vx,vy,vz)dvxdvydvz?n()edvxdvydvz

（2）

2?ktm函數f(vx,vy,vz)稱為麥氏速度分布函數，滿足條件

???f(v,vx?2y,vz)dvxdvydvz?n

在速度空間的球坐標中，麥氏速度分布律

m32?2ktv22f(v,?,?)vsin?dvd?d??n()evsin?dvd?d?

2?kt兩邊完成速度空間所有方向的積分，2??m2??mf(v)dv???00m32?2ktv222f(v,?,?)vsin?dvd?d??n()evdv?2?kt0?0sin?d?d?

則在單位體積內，速率在dv范圍內的分子數，稱為麥氏速率分布律

m32?2ktv22f(v)dv?4?n()evdv

（3）

2?kt函數f(v)稱為速率分布函數，滿足條件

?m?f(v)dv?n

0麥氏速度概率分布：w(vx,vy,vz)dvxdvydvz?f(vx,vy,vz)dvxdvydvz/n，麥氏速度概率密度分布：w(vx,vy,vz)?f(vx,vy,vz)/n，麥氏速率概率分布：w(v)dv?f(v)dv/n 麥氏速率概率密度分布：w(v)?f(v)/n；

最可幾速率：使速率分布函數f(v)取極大值的速率。

對f(v)關于v求導，令

mdf(v)?0 dvd2?2ktv2(ve)?0 dvm2?2ktv2v(2?v)e?0

ktmv?0不符合要求，取2?m2v?0，得最可幾速率 ktvm?2kt m物理量的統計平均值

對離散性的隨幾變量x，在一次實驗測量中記錄如下，x

n

x1 n1

x2 n2

x3 n3

x4 n4

x5 n5

x6 n6

其中總測量次數n?n1?n2?n3?n4?n5?n6

x的算術平均值

n1x1???n6x6n1n?x1???6x6?p1(x1)x1???p6(x6)x6

nnn??pl(xl)xl

l當測量次數趨于無窮大時，x的算術平均值趨于一定的極限，稱作x的統計平均值

x?lim?pl(xl)xl

l??l對連續性的隨幾變量x，統計平均值為

x??xdp(x)??xw(x)dx 其中dp(x)?w(x)dx為dx范圍內x出現的概率，w(x)為概率密度分布，積分遍及x的取值范圍。平均速率

?v2m322kt)?ev3dv v??vw(v)dv?4?(2?kt0?m利用積分i(3)????0e??x2x3dx?12?2，則

v??vw(v)dv?方均根速率

8kt ?m?m?v2m322ktv??vw(v)dv?4?()?ev4dv

2?kt022利用積分i(4)????0e??xx4dx?23?，則 8?52v2??v2w(v)dv?方均根速率vs是vs?v，于是vs?223kt m3kn0t?n0m3kt，或vs?m3rt。?m最可幾速率、平均速率和方均根率都與t成正比，與m成反比，它們的相對大小為

vs:v:vm?32::1?1.225:1.128:1 2?

碰壁數：在單位時間內碰到單位面積上的分子數。

以d?dadt表示在dt時間內，碰到da面積上，速度在dvxdvydvz范圍內的分子數。這些分子應當位于以da為底，以v(vx,vy,vz)為軸線，以vxdt為高的柱體內。柱體的體積是

?vxdadt，所以

xvdavxdt

d?dadt?fdvxdvydvzdadt

即

d??fdvxdvydvz

對速度積分，即可得在單位時間內碰到單位面積上的分子數

???????????dvy???dvz?fdv0x

2將麥氏速度分布函數f(vx,vy,vz)代入，利用i(1)???m??m???0e??xxdx?12?，完成積分

2?v2?vxym322)[?e2ktdvy]?vxe2ktdvx ??n(2?kt??0?n(kt18kt1m322?kt122kt?n?n)[()]?nv

2?m4?m42?ktmm7．4能量均分定理

本節要求：掌握：能量均分定理。掌握：計算系統內能和熱容量 1能量均分定理（掌握：能量均分定理的內容）

2計算系統內能和熱容量（掌握：單原子分子、雙原子分子、固體三種情況 掌握：平衡輻射：瑞利-金斯公式）

7．4．1能量均分定理及其證明

1對于處在溫度為t的平衡狀態的經典系統，粒子能量中每一平方項的平均值為kt。

2證明：

將系統看作經典系統，粒子總能量

???p??q

1r1r?2?(qr???1,?,qr)??aipi??biqi2??q2i?12i?1其中ai,bi均為正值，ai與

p1,p2,?pr,q1,q2,?qr?無關；

bi與q1,q2,?qr?,p1,p2,?pr無關；且r??r。

系統麥氏概率分布 在??l?dp1?dprdq1?dqr的?體積范圍內，粒子質心平動的狀態數為

??l1?dp1?dprdq1?dqr rrh0h0對經典粒子，物理量是連續的，可以去掉下標，于是在??積范圍的內粒子數為

?dp1?dprdq1?dqr的?體a????????e rh01??????redp1?dprdq1?dqr h0?n???edp1?dprdq1?dqr rz1h0處在dp1?dprdq1?dqr內的分子數占總分子數的概率

dp(q,p)?w(p,q)dp1?dprdq1?dqr??歸一化條件

????????a n1???edp1?dprdq1?dqr rz1h0???????dp(q,p)????w(p,q)dp1?dprdq1?dqr????

1?z1h0r能量表達式中任一平方項?????????????e???dp1?dprdq1?dqr?1

??1aipi2的平均值 2112aipi2????aipidp(q,p)

22????1?z1h0r????????????????aipi2122aipiedp1?dprdq1?dqr 2?1?z1h0r???????????dp1?dpi?1dpi?1?dprdq1?dqre????????????aipi212aipie2dpi

（1）2其中

?????aipi2

??12????aipi2112aipie2dpi??22?????????pie?aipi22?d(??2aipi2)

1??2????pide??aipi22?

???aipi21??pie22?????1?2????e?aipi22?dipi

1?2??????e?aipi22?dipi

（2）

將（2）代回（1），注意歸一化條件，1aipi2 21?z1h0r?????????dp1?dpi?1dpi?1?dprdq1?dqre??????1?2??????e?aipi22?dpi

1?2?z1h0r1?2?z1h0r???????????e?????????aipi22?dp1?dprdq1?dqr

?????e???dp1?dprdq1?dqr

???11?kt 2?2112同理可證，biqi?kt。

227．4．2能量均分定理的應用 單原子分子

1222(px?py?pz)2m13分子平均能量??kt?3?kt

223系統總內能u??n?nkt

2du3定容熱容量cv??nk

dt25定壓熱容量cp?cv?nk?nk

2質心平動動能??定壓熱容量與定容熱容量之比??cpcv?5?1.667 3理論結果與實驗結果符合得很好，但沒有考慮原子內電子的運動。原子內的電子對熱容量沒有貢獻是經典理論所不能解釋的，要用量子理論才能解釋。雙原子分子

雙原子分子的能量??1111222222(px?py?pz)?(p??p)?pr?u(r)?22m2i2sin?m1m2是約化質量。

m1?m22其中m?m1?m2為兩個原子之和，i??r是轉動慣量，??15kt?5?kt 225系統總內能u??n?nkt

2du5定容熱容量cv??nk

dt27定壓熱容量cp?cv?nk?nk

2分子平均能量??定壓熱容量與定容熱容量之比??cpcv?7?1.4 5除了低溫下的氫氣外，理論結果與實驗結果都符合。低溫下的氫氣的性質不能用經典理論解釋，同時也不能解釋為什么可以不考慮兩個原子之間的相對運動。固體

固體中的原子在其平衡位置附近作微振動，假設各原子的振動是相互獨立的簡諧振動。

121p?m?2q2 2m21一個原子的平均能量??kt?6?3kt

2固體的內能u??n?3nkt 一個自由度上的能量??定容熱容量cv?du?3nk dttv?2定壓熱容量cp?cv??t?3nk?tv?2?t

在室溫和高溫范圍內理論結果與實驗結果符合。在低溫范圍，實驗發現固體的熱容量隨溫度降低得很快，當溫度趨于絕對零度時，熱容量也趨于零。這個事實經典理論不能解釋。實驗結果還表明，3k以上的自由電子的熱容量與離子振動的熱容量相比可以忽略，這個事實經典理論也不能解釋。平衡輻射

考慮一個封閉的空窖，窖壁原子不斷地向空窖發射并從空窖吸收電磁波，經過一定的時間以后，空窖內的電磁輻射與窖壁達到平衡，稱為平衡輻射，二者具有相同的溫度。

空窖內的輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加，如果采用周期性邊界條件，單色平面波的電場分量可表示為

???0e?2?2?2?2?2，由拉普拉斯算符??2?x?y?z2??i(k?r??t)，????(k?k?k)?0e???2?i(k?r??t)2 ????0e?t222x2y2z??i(k?r??t)

1?2??0，代入電磁場的波動方程???2c?t2?(k?k?k)?0e2x2y2z??i(k?r??t)??2c2?0e??i(k?r??t)?0

(?k?2?2c2)??0

?k?2?2c2?0

??ck????c?k?e?cp

此即輻射場的能量動量關系。

具有一定波矢k和一定偏振的單色平面波可以看作輻射場的一個自由度。它以圓頻率??隨時間作簡諧振動，因此相應于一個自由度。周期性邊界條件給出可能的波矢，2?kx?lnx,nx?0,?1,?2,?，ky?2?ny,ny?0,?1,?2,?, l2?kz?nz,nz?0,?1,?2,?，l如果窖壁的線度l為一個宏觀量，則每一個自由度的波矢、動量和能量是準連續的，這

3時往往考慮在體積v?l內，在kx到kx?dkx，ky到ky?dky，kz到kz?dkz的波矢范圍內輻射場的自由度（量子態）數。在kx到kx?dkx的范圍內可能的數目為

dnx?ky到ky?dky的范圍內可能的數目為

ldkx 2?dny?kz到kz?dkz的范圍內可能的數目為

ldky 2?dnz?ldkz 2?3在體積v?l內，在kx到kx?dkx，ky到ky?dky，kz到kz?dkz的波矢范圍內輻射場的自由度（量子態）數為

2dnxdnydnz?2(l3v)dkxdkydkz?dkxdkydkz 32?4?v2ksin?dkd?d? 4?3上式在波矢的球坐標空間中表示為，2dn(k,?,?)?3考慮??ck，在體積v?l內，在?~??d?范圍內輻射場的自由度（量子態）數為

d(?)d??v2?d? 23?c根據能量均分定理，溫度為t時，每一個振動自由度的平均能量為??kt。所以，在體積v內，在?~??d?范圍內輻射場的內能為

u?d??vkt?2d? 23?c或令?v?u?/v，利用??2??，化為

??d??8?2kt?d? 3c上式稱為瑞利—金斯公式。它在低頻范圍與實驗結果符合，但在高頻范圍二者有尖銳的歧異。

??瑞利金斯公式的曲線實驗曲線?平衡輻射的總能量

?

u??0vu?d??23?c??0kt?2d???

平衡輻射的定容熱容量cv?du?? dt4這一結果與熱力學得到的結論u??tv不相符，歷史上稱為紫外光災難。導致這一荒謬結果的原因是，根據經典電動力學輻射場具有無窮多個自由度，而根據經典統計的能量均分定理，每個自由度分得平均能量為kt，所以輻射場的總內能發散。由此看來，經典統計存在根本性的原則困難。開爾文爵士稱之為物理學天空中的第一朵烏云，正是這朵烏云引發了量子力學的革命。