經典例題1、菱形與旋轉問題
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化．
（1）如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是________，CE與AD的位置關系是________；
（2）當點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理)；
（3）如圖④，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若AB＝2√3，BE＝2√19，求四邊形ADPE的面積．
【試題分析】此題是四邊形的綜合題,重點考查菱形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、以及圖形的面積等知識點,解題的關鍵是正確地作出解題所需要的輔助線,將菱形的性質與三角形全等的條件聯系起來,此題難度較大,屬于考試壓軸題.
(1)連接 AC ,根據菱形的性質和等邊三角形的性質證明△ BAP ≌ CAE 即可證的結論;
(2)(1)中的結論成立,用(1)中的方法證明 △ BAP≌△ CAE 即可;
(3)連接 AC 交 BD 于點 O ,由 LBCE =90,根據勾股定理求出 CE 的長即得到 BP 的長,再求 AO PO 、 PD 的長及等邊三角形 APE 的邊長,可求得△ APD 和△ APE 的面積,進而求得四邊形 ADPE 的面積.
【參考答案】(1)BP＝CE CE⊥AD ；（2）成立；（3）8√3.
經典例題2、正方形中的三角形與旋轉問題
（1）如圖1，正方形ABCD中以AB為邊在正方形內構造等邊△ABE，等邊△ABE邊AE交正方形對角線BD于F點，求證：BF/FD=√3．
（2）將等腰Rt△BEF繞B點旋轉至如圖2的位置連接DE，M點為DE的中點，連接AM、MF，求MA與MF的關系；
（3）如圖3，將△BEF繞B點旋轉一周，若EF＝4，AB＝1，請直接寫出點M在這個過程中的運動路徑長為 ．
【試題分析】（1）延長AE，交CD于點G，由“8字”型相似可得BF：FD=DG：AB=tan60°=√3.（2）MA⊥MF，且MA=MF；
經典例題3、正方形中的線段與旋轉問題
將正方形ABCD的邊CD繞點C順時針旋轉α（0＜α＜90）至CP，連接PB，PD．
（1）如圖1，當α＝40°時，直接寫出∠BPD的大小；
（2）如圖2，過B作BE⊥PD交PD延長線于點E，連接AE．
①求∠BPD的大小；
②探究AE，PD之間的數量關系，并證明你的結論；
③當點D為PE中點時，PB＝6，直接寫出四邊形ABPE的面積．
參考答案見下圖
例題4、正方形與旋轉問題
如圖1，四邊形ABCD為正方形，將△ACD繞點C順時針旋轉至△A1CD1的位置，旋轉角為α．連接AA1，E為AA1的中點．
（1）當α＝45°時，如圖2，此時∠AA1C＝ ；
（2）在（1）的條件下，再將△EAB繞點E旋轉180°至△EA1M的位置．請你在圖2中完成作圖，并證明：EC＝EM；
（3）將△ACD繞點C順時針旋轉至如圖3所示的位置，試判斷△EBD1的形狀并證明.
【參考答案】（1）67.5°；（2）略；（3）等腰直角三角形。